L'algèbre

L'algèbre est une branche de la mathématique où les grandeurs et les nombres sont représentés par des lettres appelées variables. Elle nous permet alors de manipuler des équations ou expressions même si certaines valeurs ne sont pas encore connues, ainsi que de résoudre celles-ci une fois ces valeurs connues insérées.

• Toute lettre présente dans une telle expression est appelée variable, car elle peut prendre n'importe quelle valeur qui lui sera assignée. Ici, la variable est x.
• Un nombre connu est appelé constante, car il ne varie pas. S'il multiplie une variable, il porte alors le nom de coefficient. Ici, la constante est 3 et le coefficient de x est 2.

L'addition et la soustraction en algèbre

En algèbre, les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits, ce qui simplifie l'expression résultante:

De plus, l'ordre dans lequel apparaît chaque terme ainsi additionné ou soustrait n'importe pas. Donc 2x + y est équivalent à y + 2x.

Si un coefficient accompagne une variable, il suffit d'additionner les coefficients pour les variables identiques, car ces derniers représentent le nombre de fois que la variable est additionnée (ou soustraite) par elle-même. Par exemple, sachant que 2x représente x + x, et que 3x représente x + x + x, alors 2x + 3x = 5x.

Les constantes présentes sont aussi additionnées ou soustraites.

Attention ! Si les variables sont élevées à une puissance, seuls les termes semblables (variables élevées à la même puissance) peuvent être additionnées/soustraites:

La multiplication en algèbre

En algèbre, lorsque l'on écrit deux variables différentes sans symbole entre-elle, cela signifie qu'elles sont multipliées. Le symbole habituel de la multiplication (x) ne peut pas être utilisé ici, car il pourrait être confondu avec la variable x qui est souvent utilisée en algèbre; on peut alors utiliser le point à cet effet, ou placer chaque membre à multiplier entre parenthèses accolées.

Lorsque la même lettre est multipliée, on simplifie le résultat en inscrivant une seule fois cette lettre et en lui assignant la bonne puissance. Ainsi, ce sont les exposants qui sont additionnés. Si ces lettres multipliées sont précédées de coefficients, ces derniers sont aussi multipliés.

Lors de la multiplication d'un polynôme par une constante ou une variable, il faut s'assurer de multiplier tous les termes de l'expression par la constante ou la variable.

Pour multiplier deux polynômes entre eux, multiplier chaque terme du premier polynôme avec ceux du second et en simplifier le résultat.

La division en algèbre

En algèbre, la division de deux variables est plus facile à visualiser en l'écrivant sous forme de fraction.

Lors de la division de variables, simplifier les variables qui sont présentes au numérateur et au dénominateur et indiquer les variables restantes en assignant la puissance correspondante. Une autre technique consiste à soustraire les exposants des variables qui se retrouvent au numérateur et au dénominateur (exposant de la variable au numérateur - exposant de la variable au dénominateur). À noter que les coefficients présents sont aussi divisés.

Afin de diviser un polynôme par un monôme, il faut diviser chaque terme du polynôme par le monôme. La division de deux polynômes ne sera pas vue ici.

Les puissances en algèbre

En algèbre, l'exposant ajouté à une variable représente le nombre de fois que cette variable est multipliée par elle-même.

Une variable qui possède une puissance négative est en réalité une fraction ayant cette variable au dénominateur. Notez qu'il est préférable de présenter un résultat en éliminant la présence de puissances négatives, ce qui simplifie l'expression finale.

Lorsqu'une variable est munie d'un exposant fractionnaire, le numérateur de cette fraction représente la puissance, alors que le dénominateur en représente la racine. Par exemple, une variable munie de l'exposant 2/3 est une variable à la seconde puissance (car le numérateur de l'exposant fractionnaire est 2), dont on désire extraire la racine cubique (car le dénominateur de l'exposant fractionnaire est 3).

Lorsque l'on multiplie deux puissances d'une même variable, leurs exposants doivent être additionnés. Lors d'une division, leurs exposants sont soustraits.

La factorisation en algèbre

Parfois la transformation d'expressions algébriques en une forme plus simple nous facilite la tâche lorsque l'on effectue des opérations sur ces expressions. Par exemple, les gros coefficients sont souvent difficiles à manier et multiplier. S'ils ont un facteur commun, ce facteur peut alors être mis en évidence afin de simplifier le tout: c’est ce qu’on appelle factoriser. Les variables communes à chaque terme peuvent aussi être mises en évidence afin de donner une expression plus simple à manipuler.

Les expressions quadratiques sont parfois plus faciles à utiliser lorsqu'elles sont factorisées. Par exemple, on peut exprimer le polynome de degré 2 : x² + 5x + 6 par sa forme équivalente (x + 2)(x + 3). Afin de factoriser un polynôme de degré 2 de type ax² + bx + c avec a = 1, il suffit de trouver les deux nombres dont le produit est égal à la constante de l'équation (c) et dont la somme est égale au second coefficient (b) de cette expression. Ces deux nombres (N₁ et N₂) forment les constantes présentes dans les parenthèses.

Afin de factoriser une expression quadratique de la forme ax² + bx + c, où a n'est pas égal à 1, trouver tout d'abord les deux nombres dont le produit est égal au produit du premier coefficient avec la constante de l'équation (a•c), et dont la somme est égale au second coefficient (b) de cette expression.

Ensuite, remplacer le coefficient b de l'équation quadratique par l'addition de ces deux nombres, regrouper l'un de ces termes avec le premier polynôme et le second avec le dernier polynôme, et en extraire le facteur commun.

La différence de deux carrés en algèbre

La factorisation de certaines expressions particulières peut se faire plus rapidement grâce à des trucs. Effectuons tout d'abord la factorisation de l'expression ci-dessous grâce à la technique régulière (consulter au besoin la page précédente pour apprendre cette technique).

Remarquez que dans les deux cas ci-dessus, les deux nombres trouvés représentent la racine carrée de la constante c, sauf que l'un des deux porte un signe négatif. Ainsi, dès qu'une expression est de la forme x² - c , simplement la factoriser de la manière suivante: (x- c^1/2)(x+c^1/2). L'ordre de présentation des deux facteurs n'a pas d'importance, donc (x-5)(x+5) = (x+5)(x-5).

Les expressions de la forme ax² - c peuvent aussi être factorisées de la même façon. Il suffit d'extraire la racine carrée du coefficient a, de placer cette valeur devant le x dans chaque parenthèse, et d'extraire la racine carrée de la constante c.

La résolution d'un problème algèbrique ayant une seule inconnue

Afin de résoudre une équation algébrique comportant une seule inconnue, on peut manipuler les composantes de l’équation afin d’isoler la variable. Pour ce faire, il suffit d'effectuer les mêmes opérations des deux côtés du symbole = afin d’isoler la variable et regrouper tous les autres nombres de l'autre côté du symbole = .

Pour alléger la notation, vous pouvez également procéder comme suit:

La résolution d'une équation de degré 2

Afin de résoudre une équation de la forme ax² + bx + c = 0, vous pouvez utiliser la formule suivante :

Afin de trouver la valeur de x, remplacer les lettres a, b et c de cette formule par celles retrouvées dans l'équation quadratique (ax² + bx + c = 0) et solutionner le tout. Selon de cas, vous pouvez obtenir 2 réponses (si b² - 4ac > 0) , une seule réponse (si b² - 4ac = 0) ou aucune réponse (si b² - 4ac < 0).

S'il est possible de factoriser l'expression quadratique, l'obtention des solutions sera facile et rapide à trouver. En effet, étant donné que l'équation entière donnera zéro si l'un ou l'autre des deux facteurs est égal à zéro, nous obtiendrons une bonne solution.

La résolution d'un système à 2 équations et à 2 inconnues

La méthode de base permet de résoudre en cinq étapes un système comportant 2 équations et 2 inconnues :

1. Isoler une des deux variables dans l'une des équations.

2. Remplacer dans l'autre équation.

3. Isoler la variable.

4. Dans une des équations de départ, remplacer la variable par sa valeur trouvée et isoler l'autre variable.

5. Effectuer la vérification en remplaçant les variables des deux équations par les valeurs trouvées.