Mathématiques

Les fonctions

Quelques définitions

Domaine : Le domaine d'une fonction correspond à l'ensemble des valeurs réelles pour lesquelles on obtient un nombre réel. Dans le cas des fonctions polynômiales, celui-ci est l'ensemble de tous les réels.

Ordonnée à l'origine : L'ordonnée à l'origine d'une fonction correspond à la valeur que prend celle-ci lorsqu'on donne à x la valeur 0. Autrement dit c'est f(0).

Zéro(s) de la fonction : Les zéros d'une fonction correspondent aux valeurs x telles que la fonction (équation) donne la valeur 0. Autrement dit c'est y = f(x) = 0.

Fonctions polynomiales

Une fonction polynomiale de degré n, où n est un entier positif, est une fonction de la forme suivante:
f(x) = a_n xⁿ+ a_n-1 x^n-1+...+ a₁x + a₀, où a₀, a₁,...,a_n sont des constantes réelles telles que an est différente de 0.

Caractéristiques de certaines fonctions polynomiales

Fonction constante : y = a où a est une constante réelle

Une fonction constante est une fonction polynomiale de degré 0.
Une fonction constante est représentée graphiquement par une droite parallèle à l'axe des x.
La pente de la droite est égale à 0.

Fonction affine : y = ax + b où a et b sont des constantes réelles et a différent de 0

Une fonction affine est représentée par une droite dans le plan cartésien.
Le coefficient "a" est la pente de la droite.
Soit les points P1(x₁ , y₁) et P2(x₂ , y₂) appartenant à une droite, alors la pente de cette droite est donnée par : a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
La constante "b" est appelée l'ordonnée à l'origine (intersection avec l'axe des y).
Si deux droites sont parallèles, alors elles ont la même pente (a₁ = a₂)
Si deux droites sont perpendiculaires, alors la multiplication de leurs pentes donne - 1 (a₁ x a₂ = -1).

Fonction quadratique : y = a x²+ b x + c où a, b et c sont des constantes réelles et a différent de 0

Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de degré 2.
Une fonction quadratique est représentée par une parabole dans le plan cartésien.
Pour trouver les zéros de la fonction, il faut résoudre f(x) = 0 en utilisant les techniques présentées dans la section "Algèbre/Factorisation" (règle du produit/somme, formule quadratique, etc.).
L'ordonnée à l'origine est "c" (il faut résoudre f(0) = a (0) + b (0) + c = c ).
Si le coefficient a > 0 , la parabole est tournée vers le haut.
Si le coefficient a < 0, la parabole est tounée vers le bas.

Les fonctions exponentielles et logarithmiques

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction de la forme f(x) = a ^x où a > 0 et a ≠ 1

Une fonction exponentielle de la forme f(x) = a ^x passe par le point (0,1)
Le domaine est l'ensemble des réels
L'image est l'ensemble des réels strictement positifs

L'utilisation des fonctions exponentielles nécessite souvent d'avoir recours aux lois des exposants.

Fonction logarithmique

La fonction logarithmique est une fonction de la forme f(x) = log _a x où a > 0 et a ≠ 1

Une fonction logarithmique de la forme y = log_a x passe par le point (1,0)
Le domaine est l'ensemble des réels strictement positifs
L'image est l'ensemble des réels
Log en base e : ln
Log en base 10 : log

L'utilisation de telles fonctions nécessite souvent d'avoir recours aux propriétés des logarithmes.

Relation entre l'exponentielle et le logarithme

Donc, "P" (résultat du logarithme) est l'exposant qu'il faut donner à la base "b" pour obtenir "N".

Les fonctions trigonométriques

Définitions des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques peuvent se définir à partir d'un triangle rectangle.

Soit

côté adjacent à l'angle thêta (adj)
côté opposé à l'angle thêta (opp)
l'hypothénuse (hyp)

Astuce: Pour retenir les principaux rapports trigonométriques utiliser " SOHCAHTOA" où chaque lettre correspond à
Sinus= Opposé / Hypothénuse , Cosinus = Adjacent / Hypothénuse , Tangente = Opposé / Adjacent

Connexion à Mobius